亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

施圖姆序列

我們首先從以下不含平方因式的多項式構(gòu)造一個施圖姆序列：

施圖姆序列是把輾轉(zhuǎn)相除法應(yīng)用于X和它的導(dǎo)數(shù)X1 = X′時，所得到的中間結(jié)果的序列。

施圖姆序列由以下公式計算：

也就是說，序列中每一項都是前兩項相除所得的余數(shù)，并將其變號。由于當(dāng)1≤ ≤ -->iXi+1≤ ≤ -->deg? ? -->Xi? ? -->1{\displaystyle \operatorname {deg} X_{i+1}\leq \operatorname {deg} X_{i}-1}，因此這個序列最終要停止。最后一個多項式，Xr，就是X和它的導(dǎo)數(shù)的最大公因式。由于X沒有重根，因此Xr是一個常數(shù)。于是，施圖姆序列為：

表述

設(shè)σ(ξ)為以下序列中符號變化的次數(shù)（零不計算在內(nèi)）：

其中X是不含平方因式的多項式。于是，施圖姆定理說明，對于兩個實數(shù)a b，半開區(qū)間(a,b]中的不同根的個數(shù)為σ(a)?σ(b)。

應(yīng)用

通過恰當(dāng)選擇a和b，這個定理可以用來計算多項式的實根的總個數(shù)。例如，柯西發(fā)現(xiàn)的一個定理說明，系數(shù)為ai的多項式的所有實根都在區(qū)間[?M,M]內(nèi)，其中：

除此以外，我們還可以利用下列事實：對于很大的x，以下多項式的符號

是sgn(an)，而sgn(P(?x))則是sgn((?1)an)。

用這種方法，僅僅計算施圖姆序列中首項系數(shù)的符號變化，就可以得出多項式的不同實根的個數(shù)。

通過施圖姆定理的幫助，我們還可以決定某個給定根（例如ξ）是幾重根。確實，假設(shè)我們知道ξa和b之間，且σ(a)?σ(b) = 1。那么，ξ是m重根正好當(dāng)ξ是Xr的m?1重根時（這是因為它是X和它的導(dǎo)數(shù)的最大公因式）。

廣義施圖姆序列

設(shè)ξ位于緊區(qū)間[a,b]內(nèi)。[a,b]上的廣義施圖姆序列，是實系數(shù)多項式(X0，X1，……，Xr)的一個有限序列，使得：

X(a)X(b) ≠ 0

sgn(Xr)在[a,b]內(nèi)是常數(shù)

如果當(dāng)1 ≤ i ≤ r?1時，Xi(ξ) = 0，那么Xi?1(ξ)Xi+1(ξ) < 0。

我們可以驗證每一個施圖姆序列確實是廣義施圖姆序列。

相關(guān)條目

勞斯–赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)

笛卡兒符號法則

參考資料

D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

免責(zé)聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。