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定義

設(shè)Δ Δ -->f(xi)=f(xi)? ? -->f(xi? ? -->1){\displaystyle \Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1}實數(shù)，若一個定義于實數(shù)區(qū)間[a,b]{\displaystyle [a,b]}上函數(shù)f{\displaystyle f}是有界變差函數(shù)，則對于任意在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上的劃分P={x0,x1,.....,xn}{\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},.....,x_{n}\}}而言，存在一正實數(shù)M{\displaystyle M}而言，有∑ ∑ -->i=1n|Δ Δ -->f(xi)|≤ ≤ -->M{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M}

其定義可推廣至復(fù)數(shù)乃至于任何的歐幾里德空間上。

性質(zhì)

任意單調(diào)函數(shù)都是有界變差的。

設(shè)f{\displaystyle f}在區(qū)間[a,b]{\displaystyle [a,b]}上滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)K>0{\displaystyle K>0}，使得對于任意x′,x″{\displaystyle x",x""}，有|f(x′)? ? -->f(x″)|≤ ≤ -->K|x′? ? -->x″|{\displaystyle |f(x")-f(x"")|\leq K|x"-x""|}，則f{\displaystyle f}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上是有界變差的。

若f{\displaystyle f}在區(qū)間[a,b]{\displaystyle [a,b]}上連續(xù)，且在區(qū)間的內(nèi)部(a,b){\displaystyle (a,b)}可微，若對于任意在f{\displaystyle f}定義域[a,b]{\displaystyle [a,b]}的內(nèi)部(a,b){\displaystyle (a,b)}的點x{\displaystyle x}而言，存在一正實數(shù)A{\displaystyle A}使得|f′(x)|≤ ≤ -->A{\displaystyle |f"(x)|\leq A}，則f{\displaystyle f}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上是有界變差的。

若f{\displaystyle f}在區(qū)間[a,b]{\displaystyle [a,b]}上是有界變差的，則f{\displaystyle f}在該區(qū)間上亦是有界的。

若f{\displaystyle f}在區(qū)間[a,b]{\displaystyle [a,b]}上是有界變差的，則其不連續(xù)點的數(shù)量是可數(shù)的。

參見

總變差

參照

T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.

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