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自然數(shù)的余數(shù)

如果a和d是兩個(gè)自然數(shù)，d非0，可以證明存在兩個(gè)唯一的整數(shù)q和r，滿(mǎn)足a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中，q被稱(chēng)為商, r被稱(chēng)為余數(shù)。帶余除法是一個(gè)關(guān)于如何計(jì)算余數(shù)的算法，其中提供了對(duì)此結(jié)果的證明。

例子

13除以10，商為1，余數(shù)為3，13=1×10+3或13÷10=1…3。

26除以4，商為6，余數(shù)為2，26=6×4+2或26÷4=6…2。

56除以7，商為8，余數(shù)為0，56=8×7+0或56÷7=8。

9除以10，商為0，余數(shù)為9，9=0×10+9或9÷10=0…9。（當(dāng)被除數(shù)小于除數(shù)時(shí)，我們以被除數(shù)為余數(shù)。）

一般整數(shù)的余數(shù)

如果a 與d 是整數(shù)，d 非零，那么余數(shù)r 滿(mǎn)足這樣的關(guān)系：

當(dāng)這樣定義時(shí)，可能導(dǎo)致兩種可能的余數(shù)。例如，除法式子（?42) / (?5）的可以表達(dá)為

或

即余數(shù)可能是3或?2。

這種對(duì)余數(shù)不明確的定義可能導(dǎo)致嚴(yán)重的計(jì)算問(wèn)題，對(duì)于處理關(guān)鍵任務(wù)的系統(tǒng)，錯(cuò)誤的選擇會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的后果。在一些組合語(yǔ)言系統(tǒng)中，會(huì)有特殊的除法指令，設(shè)定余數(shù)和被除數(shù)同號(hào)。

在上面的例子，負(fù)余數(shù)為正余數(shù)減5得來(lái)，5即是除數(shù)d.通常，當(dāng)除以d 時(shí)，如果正余數(shù)為r1，負(fù)余數(shù)為r2，那么

Python語(yǔ)言定義的除法中，不能整除的情況下，余數(shù)與除數(shù)同號(hào)，例如 (?42) / (?5) 表達(dá)為

而 42 / (-5) 則表達(dá)為

實(shí)數(shù)的余數(shù)

當(dāng)a 和d 是實(shí)數(shù)，且d 非零, a 除以d 會(huì)得到另一個(gè)實(shí)數(shù)（商），沒(méi)有所謂的剩余的數(shù).但如果要求商為一個(gè)整數(shù)，則余數(shù)的概念還是有必要的?？梢宰C明：存在唯一的整數(shù)商q 和唯一的實(shí)數(shù)r 使得: a = qd + r, 0≤ r < |d|.在整數(shù)除法里，余數(shù)可以要求為負(fù)，即滿(mǎn)足關(guān)系: -|d| < r ≤ 0.

如上在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)擴(kuò)展余數(shù)的定義在數(shù)學(xué)理論中并不重要;盡管如此，很多程序語(yǔ)言都實(shí)現(xiàn)了這個(gè)定義—參同余.

參見(jiàn)

整除

中國(guó)剩余定理

同余

輾轉(zhuǎn)相除法

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