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　　朱世杰(1249年-1314年)，字漢卿，號(hào)松庭，漢族，燕山(今北京)人氏，元代數(shù)學(xué)家、教育家，畢生從事數(shù)學(xué)教育。有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之譽(yù)。朱世杰在當(dāng)時(shí)天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展出“四元術(shù)”，也就是列出四元高次多項(xiàng)式方程，以及消元求解的方法。此外他還創(chuàng)造出“垛積法”，即高階等差數(shù)列的求和方法，與“招差術(shù)”，即高次內(nèi)插法。主要著作是《算學(xué)啟蒙》與《四元玉鑒》。

　　元統(tǒng)一中國后，朱世杰曾以數(shù)學(xué)家的身份周游各地20余年，向他求學(xué)的人很多，他到廣陵(今揚(yáng)州)時(shí)“踵門而學(xué)者云集”。他全面繼承了前人數(shù)學(xué)成果，既吸收了北方的天元術(shù)，又吸收了南方的正負(fù)開方術(shù)、各種日用算法及通俗歌訣，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)造性的研究，寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時(shí)各種數(shù)學(xué)知識(shí)為宗旨的《算學(xué)啟蒙》(3卷)，又寫成四元術(shù)的代表作--《四元玉鑒》(3卷)，先后于：1299年和1303年刊印.《算學(xué)啟蒙》由淺入深，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當(dāng)時(shí)的最新數(shù)學(xué)成果――天元術(shù)，儼然形成一個(gè)完整體系。

　　書中明確提出正負(fù)數(shù)乘法法則，給出倒數(shù)的概念和基本性質(zhì)，概括出若干新的乘法公式和根式運(yùn)算法則，總結(jié)了若干乘除捷算口訣，并把設(shè)輔助未知數(shù)的方法用于解線性方程組.《四元玉鑒》的主要內(nèi)容是四元術(shù)，即多元高次方程組的建立和求解方法.秦九韶的高次方程數(shù)值解法和李冶的天元術(shù)都被包含在內(nèi).在宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意義.如果把諸多數(shù)學(xué)家比作群山，則朱世杰是最高大、最雄偉的山峰.站在朱世杰數(shù)學(xué)思想的高度俯瞰傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，會(huì)有"一覽眾山小"之感.朱世杰工作的意義就在于總結(jié)了宋元數(shù)學(xué)，使之在理論上達(dá)到新的高度.這主要表現(xiàn)在以下三個(gè)領(lǐng)域.首先是方程理論.在列方程方面，蔣周的演段法為天元術(shù)作了準(zhǔn)備工作，他已具有尋找等值多項(xiàng)式的思想，洞淵馬與信道是天元術(shù)的先驅(qū)，但他們推導(dǎo)方程仍受幾何思維的束縛，李冶基本上擺脫了這種束縛，總結(jié)出一套固定的天元術(shù)程序，使天元術(shù)進(jìn)入成熟階段.在解方程方面，賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負(fù)開方術(shù)求出四次方程正根，秦九韶在此基礎(chǔ)上解決了高次方程的數(shù)值解法問題.至此，一元高次方程的建立和求解都已實(shí)現(xiàn).而線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產(chǎn)生的條件.李德載的二元術(shù)和劉大鑒的三元術(shù)相繼出現(xiàn)，朱世杰的四元術(shù)正是對(duì)二元術(shù)、三元術(shù)的總結(jié)與提高.由于四元已把常數(shù)項(xiàng)的上下左右占滿，方程理論發(fā)展到這里，顯然就告一段落了.從方程種類看，天元術(shù)產(chǎn)生之前的方程都是整式方程。

　　從洞淵到李冶，分式方程逐漸得到發(fā)展.而朱世杰，則突破了有理式的限制，開始處理無理方程.其次是高階等差級(jí)數(shù)的研究.沈括的隙積術(shù)開研究高階等差級(jí)數(shù)之先河，楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級(jí)數(shù)求和公式.朱世杰則在此基礎(chǔ)上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級(jí)數(shù)的求和問題，從而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，掌握了三角垛統(tǒng)一公式.他還發(fā)現(xiàn)了垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系，利用垛積公式給出規(guī)范的四次內(nèi)插公式.第三是幾何學(xué)的研究.宋代以前，幾何研究離不開勾股和面積、體積.蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對(duì)象的.李冶開始注意到圓城因式中各元素的關(guān)系，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形.朱世杰不僅總結(jié)了前人的勾股及求積理論，而且在李冶思想的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要定理--射影定理和弦冪定理.他在立體幾何中也開始注意到圖形內(nèi)各元素的關(guān)系.朱世杰的工作，使得幾何研究的對(duì)象由圖形整體深入到圖形內(nèi)部，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的進(jìn)步。