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簡(jiǎn)介

  借由線性二次高斯反饋（LQR）控制，在雙擺系統(tǒng)上進(jìn)行平滑的非線性軌跡規(guī)劃

控制理論是

一個(gè)研究如何調(diào)整動(dòng)態(tài)系統(tǒng)特性的理論。

科學(xué)中跨學(xué)科的領(lǐng)域，起源于工程及數(shù)學(xué)，逐漸的應(yīng)用在許多社會(huì)科學(xué)中，例如心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、犯罪學(xué)及 （ 英語(yǔ) ： financial system ） 。

控制系統(tǒng)可以視為具有四種機(jī)能的系統(tǒng)：量測(cè)、比較、計(jì)算及修正。這四個(gè)機(jī)能可以用五種元素來實(shí)現(xiàn)：感測(cè)器、換能器、發(fā)送器、控制器及最終控制元件。量測(cè)機(jī)能是由感測(cè)器、換能器及發(fā)送器執(zhí)行，在實(shí)務(wù)應(yīng)用上，這三個(gè)元素會(huì)整合在一個(gè)單體內(nèi)，像是電阻溫度計(jì)。比較和計(jì)算的機(jī)能是由控制器執(zhí)行，可能是電子式的比例控制（P控制）、PI控制、PID控制、雙穩(wěn)態(tài)的遲滯控制，也可能是可編程邏輯控制器（PLC）。早期的控制器也可能是機(jī)械式的，像是離心式調(diào)速器或是化油器。修正機(jī)能是由最終控制元件執(zhí)行，最終控制元件改變系統(tǒng)的輸出，因此影響操縱或控制的變量。

范例

車輛的巡航定速系統(tǒng)是讓車輛維持在由駕駛者設(shè)定的固定參考速度。此時(shí)控制器為巡航定速系統(tǒng)，車輛為受控體（plant），而系統(tǒng)是由控制器和車輛所組成，而控制變數(shù)是引擎節(jié)流閥的位置．會(huì)決定引擎可以產(chǎn)生的功率。

一種最單純的作法是當(dāng)駕駛者啟動(dòng)巡航定速系統(tǒng)時(shí)，固定引擎節(jié)流閥的位置。但是若駕駛者在平坦的路面啟動(dòng)巡航定速系統(tǒng)，車輛在上坡時(shí)速度會(huì)較慢，車輛在下坡時(shí)速度又會(huì)較快。這種的控制器稱為開環(huán)控制器，因?yàn)闆]有去量測(cè)系統(tǒng)輸出（車輛速度）并且影響控制變數(shù)（節(jié)流閥位置），因此此系統(tǒng)無法去針對(duì)車輛遇到的變化（像路面坡度的變動(dòng)）去進(jìn)行調(diào)整。

在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，利用感測(cè)器量測(cè)系統(tǒng)輸出（車輛速度），并將資料送入控制器中，控制器依資料調(diào)整控制變數(shù)（節(jié)流閥位置），來達(dá)到維持理想系統(tǒng)輸出（使車輛速度和駕駛者設(shè)定的參考速度一致）。此時(shí)若車輛在上坡時(shí)，感測(cè)器會(huì)量到車輛的速度變慢，因此會(huì)調(diào)整節(jié)流閥位置，加大引擎輸出功率，使馬達(dá)加速。因?yàn)橛辛繙y(cè)車輛速度的回授，因此控制器可以配合車輛速度的變化進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。因此產(chǎn)生了控制系統(tǒng)中的“環(huán)”范式：控制變數(shù)影響系統(tǒng)輸出，而再根據(jù)量測(cè)到的系統(tǒng)輸出去調(diào)整控制變數(shù)。

歷史

  1768年 瓦特蒸氣機(jī) （ 英語(yǔ) ： Watt steam engine ） 上的離心式調(diào)速器

雖然許多控制系統(tǒng)在古代時(shí)就有了，但此領(lǐng)域較正式的分析是從離心式調(diào)速器的動(dòng)態(tài)分析開始的，物理學(xué)家詹姆斯·馬克士威在1868年為此撰寫了論文《論調(diào)速器》（On Governors） ，其中描述了自激振蕩的現(xiàn)象－由于系統(tǒng)時(shí)間延遲，使得系統(tǒng)過度補(bǔ)償及不穩(wěn)定的情形。因此也使得得許多科學(xué)家對(duì)此議題產(chǎn)生興趣，其中馬克士威的同學(xué) 愛德華·約翰·羅斯 （ 英語(yǔ) ： Edward John Routh ） 將馬克士威的研究結(jié)果抽象化，應(yīng)用在一般的線性系統(tǒng)中 ，阿道夫·霍維茨在1877年也獨(dú)立均分析微分方程的穩(wěn)定性，其結(jié)果即為今日的 羅斯-霍維茨定理 （ 英語(yǔ) ： Routh–Hurwitz theorem ） 。

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)控制的顯著成就是載人的飛行．人類首次成功的載人飛行是由萊特兄弟在1903年12月17日達(dá)成的，其卓越之處不只是可以使機(jī)翼產(chǎn)生升力（這對(duì)當(dāng)時(shí)的研究者是已知的），而是在于可以長(zhǎng)時(shí)間控制其飛行。若要使飛行時(shí)間超過幾秒鐘，對(duì)飛機(jī)連續(xù)、可靠的控制是重要條件之一。

在二次大戰(zhàn)時(shí)，控制系統(tǒng)是火控系統(tǒng)、 導(dǎo)引系統(tǒng) （ 英語(yǔ) ： guidance system ） 及相關(guān)電子設(shè)備的重要組成之一。

有時(shí)會(huì)用機(jī)械的方式來增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性．例如 船舶穩(wěn)定器 （ 英語(yǔ) ： Stabilizer (ship) ） 就是安裝在船舶吃水線以下．橫向張開的鰭片?，F(xiàn)在的船舶有用陀螺儀控制的活動(dòng)鰭片，可以調(diào)整攻角，抵抗風(fēng)或浪作用在船上產(chǎn)生的橫搖。

AIM-9響尾蛇導(dǎo)彈在導(dǎo)彈后方有一個(gè)小的控制表面，其外面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓盤，稱為 陀螺舵 （ 英語(yǔ) ： rolleron ） 或滾轉(zhuǎn)安定翼。圓盤后的氣流會(huì)以高速旋轉(zhuǎn)，若導(dǎo)彈開始橫搖，圓盤的陀螺力會(huì)使控制表面對(duì)正氣流，減少橫搖的影響。因此響尾蛇導(dǎo)彈用一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)械組件代替一個(gè)可能非常復(fù)雜的控制系統(tǒng)。

太空競(jìng)賽也和精準(zhǔn)的航天控制有關(guān)，而許多領(lǐng)域也越來越常用到控制理論，例如經(jīng)濟(jì)學(xué)。

對(duì)控制理論有重要貢獻(xiàn)的科學(xué)家

  導(dǎo)彈后的陀螺舵

許多科學(xué)家對(duì)控制理論有重要貢獻(xiàn)，包括以下這幾位：

皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749-1827）在他有關(guān)概率論的著作中，發(fā)明了Z轉(zhuǎn)換，現(xiàn)在Z轉(zhuǎn)換用來處理離散控制系統(tǒng)的問題，Z轉(zhuǎn)換是拉普拉斯變換的離散等效版本。

亞歷山大·李亞普諾夫（1857–1918）在1890年代開始了 穩(wěn)定性理論 （ 英語(yǔ) ： Stability theory ） 的研究。

哈羅德·史蒂芬·布萊克 （ 英語(yǔ) ： Harold Stephen Black ） （1898–1983）在1927年提出了負(fù)反饋放大器的概念，在1930年代開發(fā)了穩(wěn)定的負(fù)反饋放大器。

哈里·奈奎斯特（1889–1976）在1930年代發(fā)展了針對(duì)回授系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

理查德·貝爾曼（1920–1984）在1940年代發(fā)展動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

安德雷·柯爾莫哥洛夫（1903–1987）在1941年共同發(fā)展維納–柯爾莫哥洛夫?yàn)V波(1941).

諾伯特·維納（1894–1964）共同發(fā)展維納–柯爾莫哥洛夫?yàn)V波，并在1940年代提出?？貙W(xué)一詞。

約翰拉加齊尼 （ 英語(yǔ) ： John R. Ragazzini ） （1912–1988）在1950年代提出 數(shù)位控制 （ 英語(yǔ) ： digital control ） ，并在控制理論中應(yīng)用加入Z轉(zhuǎn)換。

列夫·龐特里亞金（1908–1988）提出了 龐特里亞金最小值定理 （ 英語(yǔ) ： Pontryagin"s minimum principle ） 及起停式控制。

傳統(tǒng)控制理論

為了克服開環(huán)控制器的限制，在控制理論中導(dǎo)入了回授。閉環(huán)的控制器利用回授來控制動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)或輸出。其名稱來自系統(tǒng)中的訊息路徑：程序輸入（例如馬達(dá)的電壓）影響程序輸出（例如馬達(dá)的電流或轉(zhuǎn)矩），利用感測(cè)器量測(cè)輸出，再將量測(cè)資料送到控制器中處理，結(jié)果送回控制器作為輸入信號(hào)之一，因此成為一閉環(huán)。

相對(duì)于開環(huán)控制器，閉環(huán)控制器有以下的優(yōu)點(diǎn)：

噪聲抑制能力（像巡航定速中的路面坡度）。

即使在數(shù)學(xué)模型有一些不確定性的情形下（如模型結(jié)構(gòu)和實(shí)際系統(tǒng)不是完全符合，或是模型參數(shù)和實(shí)際數(shù)值不是完全一致），仍有一定程度的性能。

可以穩(wěn)定不穩(wěn)定的系統(tǒng)

減少對(duì)于參數(shù)變動(dòng)的靈敏度

提升命令追隨（命令變化時(shí)，系統(tǒng)配合命令變化）的性能

有些系統(tǒng)中，同時(shí)出現(xiàn)開環(huán)及閉環(huán)的控制，此時(shí)的開環(huán)會(huì)稱為 前饋 （ 英語(yǔ) ： feed forward (control) ） ，目的是為了提升命令追隨的性能。

PID控制器是常見的閉回路控制器架構(gòu)。

閉環(huán)傳遞函數(shù)

更多資料：閉環(huán)傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的輸出 y(t) 借由感測(cè)器 F 量測(cè)后，和參考值 r(t) 相減，控制器 C 根據(jù)參考值和輸出值的誤差 e 調(diào)整受控體 P 的輸入 u ，如圖所示，這類的控制器稱為閉環(huán)控制器。

由于只有一個(gè)輸入和輸出，此系統(tǒng)會(huì)稱為SISO（單一輸入單一輸出）控制系統(tǒng)。MIMO（多重輸入多重輸出）控制系統(tǒng)是指輸入或輸出不只一個(gè)，在實(shí)務(wù)上也很常見，其輸入變數(shù)和輸出變數(shù)會(huì)用 向量 （ 英語(yǔ) ： Coordinate vector ） 表示，而不是單一數(shù)值的標(biāo)量。在 分布參量系統(tǒng) （ 英語(yǔ) ： distributed parameter systems ） 中，向量可能是無限維的，即一般的函數(shù)。

若假設(shè)控制器 C 、受控體 P 及感測(cè)器 F 都是線性及非時(shí)變的（各模組輸入和輸出的關(guān)系不隨時(shí)間改變），可以將上述系統(tǒng)用拉普拉斯轉(zhuǎn)換來分析，因此可以得到以下的關(guān)系：

其中 s {\displaystyle s} 為拉普拉斯轉(zhuǎn)換中的復(fù)變數(shù)，若要求解 Y ( s )用 R ( s )表示，可得：

表示式 H ( s ) = P ( s ) C ( s ) 1 + F ( s ) P ( s ) C ( s ) {\displaystyle H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}\,\!} 即為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，分子是從 r 到 y 的前饋（開環(huán)）增益，分母是1加上經(jīng)過回授環(huán)的增益．即閉環(huán)增益，若If | P ( s ) C ( s ) | ? ? --> 1 {\displaystyle |P(s)C(s)|\gg 1\,\!} ，也就是說在各 s 下，其范數(shù)都很大，且 | F ( s ) | ≈ ≈ --> 1 {\displaystyle |F(s)|\approx 1\,\!} ，則 Y(s) 近似于 R(s) ，此時(shí)輸出會(huì)緊密的追隨參考輸入。

PID控制器

更多資料：PID控制器

PID控制器可能是最常用到的控制器，PID的三個(gè)字母分別代表比例、積分和微分三個(gè)由誤差值產(chǎn)生控制信號(hào)的方式。若 u(t) 為控制信號(hào)， y(t) 為量測(cè)到的輸出， r(t) 為參考輸入，誤差為 e ( t ) = r ( t ) ? ? --> y ( t ) {\displaystyle e(t)=r(t)-y(t)} ，則PID控制器可以表示為以下的形式：

可以用調(diào)整 K P {\displaystyle K_{P}} , K I {\displaystyle K_{I}} 及 K D {\displaystyle K_{D}} 三個(gè)參數(shù)的方式，來達(dá)到較理想的控制器特性，調(diào)整參數(shù)的過程一般是用試誤法，不太需要對(duì)于系統(tǒng)架構(gòu)的了解。一般只用比例可以讓系統(tǒng)穩(wěn)定，積分項(xiàng)可以抑制步階擾動(dòng)（常常是程序控制的重要規(guī)格），也可以修正穩(wěn)態(tài)誤差，微分項(xiàng)一般是用來調(diào)整系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。PID控制器是最廣為人知的控制方式，但不適用在一些太過于復(fù)雜的系統(tǒng)，尤其是MIMO的系統(tǒng)。

將PID控制器的方程式進(jìn)行拉普拉斯轉(zhuǎn)換，可得：

因此PID控制器的傳遞函數(shù)如下：

需注意在實(shí)務(wù)上，PID控制器中不會(huì)使用純微分器，一方面在實(shí)務(wù)上不可行，而且會(huì)放大高頻噪聲，容易造成共振。一般會(huì)用相位超前的補(bǔ)償器，或是有低通 滾降 （ 英語(yǔ) ： Roll-off ） 的微分器。

現(xiàn)代控制理論

經(jīng)典控制理論以頻域分析為主，而現(xiàn)代控制理論利用時(shí)域的狀態(tài)空間表示法，將系統(tǒng)中的輸入、輸出及狀態(tài)變數(shù)之間的關(guān)系用一階的微分方程表示。為了抽象化輸入、輸出及狀態(tài)變數(shù)的數(shù)量，這些變數(shù)一般會(huì)用向量來表示，而微分方程或代數(shù)方程（當(dāng)系統(tǒng)是線性時(shí)）則會(huì)以矩陣形式表示。狀態(tài)空間表示法也稱為時(shí)域分析，提供一個(gè)方便且簡(jiǎn)潔的方式針對(duì)多重輸入及輸出的系統(tǒng)建模及分析，在有輸入和輸出時(shí)，也可以利用拉氏轉(zhuǎn)換，將系統(tǒng)所有的資料包括在其中?，F(xiàn)代控制理論不同于頻域分析，可以分析非線性或不是零初始條件的系統(tǒng)。狀態(tài)空間就是指座標(biāo)軸為狀態(tài)變數(shù)的空間，系統(tǒng)的狀態(tài)可以表示為狀態(tài)空間中的一個(gè)向量 。

控制理論主題

穩(wěn)定性

在控制理論中的穩(wěn)定性是指控制系統(tǒng)的狀態(tài)在特定條件下，可以維持在一定的范圍內(nèi)，不會(huì)發(fā)散，而在什么范圍內(nèi)才算是穩(wěn)定則依系統(tǒng)種類而不同。

沒有輸入信號(hào)的動(dòng)力系統(tǒng)，其穩(wěn)定性是用李雅普諾夫穩(wěn)定性來描述，也就是任何初始條件在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 附近的軌跡均能維持在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 附近

有輸入信號(hào)的線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性是用有界輸入有界輸出穩(wěn)定性（BIBO 穩(wěn)定性）來描述，針對(duì)任何有界的輸入信號(hào)，其輸出也是有界。

有輸入信號(hào)的非線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性是用輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性（input-to-state stability），結(jié)合了李雅普諾夫穩(wěn)定性及類似有界輸入有界輸出穩(wěn)定性的表示方式。

為了簡(jiǎn)單起見，以下的說明是針對(duì)連續(xù)時(shí)間及離散時(shí)間的線性時(shí)不變系統(tǒng)。

在數(shù)學(xué)上，一個(gè)因果性的系統(tǒng)若要穩(wěn)定．其傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)的實(shí)部都要為負(fù)值。考量不同的控制系統(tǒng)，穩(wěn)定的條件是極點(diǎn)滿足以下的條件：

若是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，使用拉普拉斯轉(zhuǎn)換來求得傳遞函數(shù)，極點(diǎn)都要在復(fù)數(shù)平面的左半平面。

若是離散時(shí)間系統(tǒng)，使用Z轉(zhuǎn)換來求得傳遞函數(shù)，極點(diǎn)都要在單位圓內(nèi)。

兩者的差異是因?yàn)槔绽罐D(zhuǎn)換的左半平面，在共形映射后會(huì)對(duì)應(yīng)單位圓內(nèi)的區(qū)域。

若滿足上述的條件，一系統(tǒng)即為漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)：漸近穩(wěn)定控制系統(tǒng)中的變數(shù)會(huì)由其初值開始，持續(xù)的趨近于0，而且不會(huì)有一直持續(xù)的振蕩。一直持續(xù)的振蕩會(huì)出現(xiàn)在極點(diǎn)在虛軸上（連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)）或是其極點(diǎn)大小為1（離散時(shí)間系統(tǒng)）。若一個(gè)簡(jiǎn)單的穩(wěn)定系統(tǒng)，其響應(yīng)不會(huì)遞減也不是隨時(shí)間變大，也不會(huì)震蕩，此為 臨界穩(wěn)定 （ 英語(yǔ) ： marginal stability ） ：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在復(fù)數(shù)平面原點(diǎn)處有不重復(fù)的極點(diǎn)。若傳遞函數(shù)中，實(shí)部為零的極點(diǎn)，其虛部不為零，表示系統(tǒng)在震蕩。

若一離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

則其Z轉(zhuǎn)換后的傳遞函數(shù)為

在 z = 0.5 {\displaystyle z=0.5} 處有一個(gè)極點(diǎn)．因?yàn)闃O點(diǎn)在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)為BIBO（漸近）穩(wěn)定。

若其沖激響應(yīng)為

則其Z轉(zhuǎn)換后的傳遞函數(shù)為

在 z = 1.5 {\displaystyle z=1.5} 處有一個(gè)極點(diǎn)．因?yàn)闃O點(diǎn)在單位圓外，因此系統(tǒng)沒有BIBO穩(wěn)定性。

許多數(shù)學(xué)工具可以分析系統(tǒng)的極點(diǎn)，其中也有一些是配合圖表分析，像根軌跡、波德圖及奈奎斯特圖。

機(jī)械上的調(diào)整可以提升設(shè)備（及控制系統(tǒng)）的穩(wěn)定性。水手會(huì)加入壓艙水來提升船的穩(wěn)定性，郵輪會(huì)加入防側(cè)傾的鰭，從船舷往外延伸10米，而持續(xù)的繞著其中心軸旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個(gè)和側(cè)傾相反的力。

可控制性及可觀測(cè)性

可控制性 （ 英語(yǔ) ： Controllability ） 和 可觀測(cè)性 （ 英語(yǔ) ： observability ） 分別是輸入和狀態(tài)，輸出和狀態(tài)之間的性質(zhì)。是在分析控制系統(tǒng)，決定控制策略或判斷是否可以使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)所需要的重要性質(zhì)。

可控制性 （ 英語(yǔ) ： Controllability ） 是指是可以用適當(dāng)?shù)目刂菩盘?hào)作為輸入，使特定狀態(tài)變數(shù)的數(shù)值變成０，和利用輸入調(diào)整狀態(tài)變數(shù)的能力有關(guān)，若一個(gè)狀態(tài)變數(shù)是不可控制的，表示沒有輸入可以調(diào)整這一個(gè)狀態(tài)，若一系統(tǒng)中所有不可控制的狀態(tài)變數(shù)，其動(dòng)態(tài)特性都是穩(wěn)定的，則此系統(tǒng)稱為可穩(wěn)定的（stabilizable）。 可觀測(cè)性 （ 英語(yǔ) ： observability ） 是指可以用輸出的量測(cè)及計(jì)算得到狀態(tài)變數(shù)的值，若一個(gè)狀態(tài)變數(shù)是不可觀測(cè)的，表示無法確認(rèn)此一狀態(tài)是否穩(wěn)定，也就無法用此狀態(tài)來穩(wěn)定整個(gè)系統(tǒng)。若一系統(tǒng)中所有不可控制的觀測(cè)變數(shù)都是穩(wěn)定的，則此系統(tǒng)稱為可檢測(cè)的（detectable）。

若以幾何觀點(diǎn)來看，若要控制系統(tǒng)中所有的狀態(tài)，那些“不好”的狀態(tài)都需是可控制且可觀測(cè)的，才能確保閉環(huán)系統(tǒng)的良好特性。若系統(tǒng)中有一個(gè)狀態(tài)不是可控制且可觀測(cè)的，無法在閉環(huán)系統(tǒng)中調(diào)整其動(dòng)態(tài)特性。若此狀態(tài)的動(dòng)態(tài)特性是不穩(wěn)定的，此特性也會(huì)出現(xiàn)在閉環(huán)系統(tǒng)中，因此整個(gè)系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。在狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換到傳遞函數(shù)時(shí)，不可觀測(cè)的的極點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)在傳遞函數(shù)中，因此在一些動(dòng)力系統(tǒng)分析時(shí)，會(huì)選擇使用狀態(tài)空間表示法。

不可控制或不可觀察的系統(tǒng)，可以用加入致動(dòng)器或感測(cè)器的方式改善。

控制規(guī)格

在控制原理的基礎(chǔ)下，已發(fā)展出許多不同的控制策略，從非常通用的（PID控制器），到針對(duì)特殊系統(tǒng)的控制，尤其是機(jī)器人或是航空器的巡航定速控制。

一個(gè)控制問題會(huì)有許多的規(guī)格，其中穩(wěn)定性是必要條件的，不論系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定性如何，控制器需確保在閉環(huán)下是穩(wěn)定的。性能不佳或是調(diào)整不當(dāng)?shù)目刂破骺赡苁瓜到y(tǒng)變的不穩(wěn)定，甚至可能比開環(huán)還要不穩(wěn)定，這是應(yīng)盡量要避免的。

有時(shí)會(huì)希望在閉環(huán)下有較快的動(dòng)態(tài)特性，若是線性時(shí)不變系統(tǒng)，其穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)特性可以用傳遞函數(shù)極點(diǎn)的位置來表示，極點(diǎn)的實(shí)部越小，表示有更快的動(dòng)態(tài)特性，一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，其極點(diǎn) λ λ --> {\displaystyle \lambda } 會(huì)符合 R e [ λ λ --> ] < 0 {\displaystyle Re[\lambda ] {\displaystyle \lambda } 會(huì)符合 R e [ λ λ --> ] λ λ --> ˉ ˉ --> {\displaystyle Re[\lambda ] 的條件，其中 λ λ --> ˉ ˉ --> {\displaystyle {\overline {\lambda }}} 為一個(gè)大于零的定值。

另一個(gè)常見的規(guī)格是對(duì)步階擾動(dòng)的抑制能力，在受控系統(tǒng)前加入積分器即可達(dá)到此一需求，其他種類擾動(dòng)的抑制能力也可以透過其他的子系統(tǒng)才能達(dá)成。

其他“經(jīng)典”的控制系統(tǒng)規(guī)格有些和閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)有關(guān)：包括 上升時(shí)間 （ 英語(yǔ) ： Rise time ） （控制系統(tǒng)在擾動(dòng)后，輸出第一次到達(dá)理想數(shù)值的時(shí)間）、峰值過沖（控制系統(tǒng)在擾動(dòng)后，穩(wěn)定之前，輸出的最大值）、安定時(shí)間（控制系統(tǒng)輸出維持在理想數(shù)值范圍的時(shí)間）在擾動(dòng)后，穩(wěn)定之前，輸出的最大值）、四分之一衰減響應(yīng)（quarter-decay）或其他規(guī)格。頻域規(guī)格一般會(huì)和系統(tǒng)的魯棒性（強(qiáng)健性）有關(guān)。

現(xiàn)在的性能指標(biāo)也包括一些用積分量或其變體表示的追隨誤差，像絕對(duì)誤差積分（IAE）、絕對(duì)時(shí)間誤差積分（ITAE）、平方誤差積分（IAE）、慣量中心（COI）等。

模型識(shí)別及強(qiáng)健性

控制系統(tǒng)一定會(huì)有一定程度的強(qiáng)健性。控制器一般是依照一個(gè)假設(shè)的受控系統(tǒng)模組再進(jìn)行設(shè)計(jì)，強(qiáng)健性是指一控制器配合的受控系統(tǒng)和原來假設(shè)的系統(tǒng)有一點(diǎn)不同，控制器的特性不會(huì)有太大的變化。這個(gè)規(guī)格在實(shí)際的控制器中相當(dāng)重要，因?yàn)楹苌賹?shí)際系統(tǒng)會(huì)完全符合描述它的微分方程，在選擇系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)化，否則數(shù)學(xué)模型會(huì)非常復(fù)雜，甚至無法求得一個(gè)完整的模型。

確認(rèn)受控系統(tǒng)統(tǒng)御方程的程序稱為 系統(tǒng)識(shí)別 （ 英語(yǔ) ： System identification ） 。系統(tǒng)識(shí)別可以在離線（off-line）時(shí)進(jìn)行，也就是在不是一般運(yùn)作的情形下進(jìn)行，例如可以執(zhí)行一系列的量測(cè)程序，計(jì)算系統(tǒng)近似數(shù)學(xué)模型的參數(shù)，一般會(huì)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或是矩陣。系統(tǒng)識(shí)別是利用系統(tǒng)的輸入和輸出進(jìn)行，因此無法考慮沒有觀測(cè)性的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)。有時(shí)數(shù)學(xué)模型會(huì)直接由已知的物理方程式開始，例如針對(duì)有質(zhì)量、彈簧及阻尼的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)方程為 m x ¨ ¨ --> ( t ) = ? ? --> K x ( t ) ? ? --> B x ˙ ˙ --> ( t ) {\displaystyle m{\ddot {x}}(t)=-Kx(t)-\mathrm {B} {\dot {x}}(t)} 。不過即使在設(shè)計(jì)控制器時(shí)已經(jīng)使用受控系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)模型，其中用到的參數(shù)（稱為標(biāo)稱參數(shù)）也無法絕對(duì)的精確，因此當(dāng)受控系統(tǒng)的參數(shù)和標(biāo)稱參數(shù)有少許變化時(shí)，控制系統(tǒng)也需動(dòng)作正常。

有些先進(jìn)的控制技術(shù)會(huì)有在線（on-line）的系統(tǒng)識(shí)別，也就是在一般運(yùn)作，控制器正常運(yùn)作的條件下去計(jì)算系統(tǒng)模型的參數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生較大的變化（如機(jī)器人手臂釋放一重物，負(fù)載變輕），控制器可以自動(dòng)調(diào)整，仍然有正常的性能。

有關(guān)SISO（單一輸入單一輸出）系統(tǒng)的強(qiáng)健性分析，可以利用頻域分析，考慮系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，利用奈奎斯特圖及波德圖來達(dá)到，相關(guān)主題包括增益裕度及相位裕度及幅值裕度（amplitude margin）。但針對(duì)MIMO（多重輸入多重輸出）系統(tǒng)及較復(fù)雜的控制系統(tǒng)．需考慮由各控制策略可得到的理論結(jié)果，若是需要某一種特別的強(qiáng)健性性質(zhì)，需考慮可以具有此性筫的控制技術(shù)。

在強(qiáng)健性需求中有一個(gè)較特別的，就是要求在輸入變數(shù)及輸出變數(shù)均有限制的情形下，控制系統(tǒng)可以正常運(yùn)作。在真實(shí)世界中的信號(hào)都是有限的．但有可能控制系統(tǒng)送出的信號(hào)超過實(shí)際系統(tǒng)的限制，例如要使一個(gè)閥以超過其極限速度的速度旋轉(zhuǎn)，這可能會(huì)讓閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)不想要的特性，甚至?xí)怪聞?dòng)器或感測(cè)器受損或毀壞。有些特殊的控制技術(shù)可以解決此問題，像 模型預(yù)測(cè)控制 （ 英語(yǔ) ： Model predictive control ） 及反終結(jié)（anti-wind up system），后者包括一個(gè)特殊的控制方塊，可以確?？刂菩盘?hào)不會(huì)超過限制值，以避免積分終結(jié)的情形。

系統(tǒng)分類

線性系統(tǒng)控制

針對(duì)MIMO的系統(tǒng)，極點(diǎn)的指定可以用開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間，再將極點(diǎn)放在指定位置，計(jì)算對(duì)應(yīng)的回授矩陣。若在復(fù)雜的系統(tǒng)中，上述的程序需要用電腦輔助計(jì)算才能達(dá)到，而且不保證其強(qiáng)健性。而且一般而言無法量到所有的系統(tǒng)狀態(tài)，在極點(diǎn)指定的設(shè)計(jì)時(shí)需加入觀測(cè)器（observer）的設(shè)計(jì)。

非線性系統(tǒng)控制

像機(jī)器人學(xué)及航天產(chǎn)業(yè)中的程序一般都有高度非線性的動(dòng)態(tài)，在控制理論中有時(shí)可以用線性化的方式轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)，再依線性系統(tǒng)的方式控制。但有時(shí)需要用一些可以配合非線性系統(tǒng)使用的 非線性控制 （ 英語(yǔ) ： nonlinear control ） 理論，例如回授線性化、 反推控制 （ 英語(yǔ) ： backstepping ） 、 滑動(dòng)模式控制 （ 英語(yǔ) ： sliding mode control ） 等。軌跡線性化控制一般利用李亞普諾夫穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。微分幾何用做為一數(shù)學(xué)工具，將許多廣為人知的線性控制概念擴(kuò)展到非線性控制中，但其中又有其微妙之處，因此變成一個(gè)更有挑戰(zhàn)性的問題。

分散式系統(tǒng)

分散控制系統(tǒng) （ 英語(yǔ) ： Distributed control system ） 是指一個(gè)系統(tǒng)由多個(gè)控制器來控制。分散控制有幾個(gè)好處，例如可以控制一個(gè)位在廣大地理區(qū)域的系統(tǒng)，各控制器之間可以用通訊網(wǎng)絡(luò)彼此交換資料，并協(xié)調(diào)彼此的行動(dòng)。

主要控制策略

每一個(gè)控制系統(tǒng)首先都要保證其閉環(huán)特性的穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)可以用極點(diǎn)指定的方式達(dá)到。非線性系統(tǒng)一般會(huì)根據(jù)亞歷山大·李亞普諾夫的理論，來確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性和內(nèi)部動(dòng)態(tài)無關(guān)?？刂葡到y(tǒng)有許多不同的控制規(guī)格，是否可以符合所有控制規(guī)格則和考慮的系統(tǒng)模型及選擇的控制策略有關(guān)。以下是一些主要控制策略的列表：

適應(yīng)控制會(huì)在線識(shí)別程序中的參數(shù)，或修改控制器的增益，使系統(tǒng)有較佳的強(qiáng)性。適應(yīng)控制最早在1950年代用在航天產(chǎn)業(yè)中，而且應(yīng)用的非常成功。

分層控制系統(tǒng) （ 英語(yǔ) ： hierarchical control system ） 是一種設(shè)備及控制軟件皆依分層樹方式規(guī)劃的控制系統(tǒng)。當(dāng)樹中的連結(jié)用電腦網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)時(shí)，分層控制系統(tǒng)也可以視為是一種 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng) （ 英語(yǔ) ： Networked control system] ]] ） 。

智能控制會(huì)使用許多人工智能的方法來控制動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，會(huì)用到的方式包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、貝葉斯概率、模糊邏輯 、機(jī)器學(xué)習(xí)、進(jìn)化計(jì)算及遺傳算法等。

最優(yōu)控制是一種特別的控制技術(shù)，控制器產(chǎn)生的控制信號(hào)需使某特定“成本指數(shù)”最佳化。以太空船為例，噴射引擎需在消耗油量最小的情形下將太空船帶到期望的軌道。有二種最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)方式廣泛的用在工業(yè)應(yīng)用中，而且已證明這二個(gè)方式可以確閉環(huán)的穩(wěn)定性。這二種方式分別是 模式預(yù)測(cè)控制 （ 英語(yǔ) ： Model Predictive Control ） （MPC）及 線性二次高斯控制 （ 英語(yǔ) ： linear-quadratic-Gaussian control ） （LQG）。第一個(gè)方式很明確的考慮系統(tǒng)中信號(hào)的限制條件，這是很多工業(yè)系統(tǒng)都有的重要特征，但其中的最佳控制只是作為滿足所有限制的一個(gè)方式，不是最優(yōu)化閉環(huán)系統(tǒng)中的實(shí)際性能指標(biāo)。配合PID控制器的模式預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)常用在程序控制中。

魯棒控制明確的在控制器設(shè)計(jì)時(shí)考慮其不確定性。魯棒控制的控制器可以克服分析用理想系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)之間的小誤差。亨德里克·韋德·波德和其他早期提出的控制方式有一些魯棒性。而1960到1970年代提出的狀態(tài)空間法則較沒有魯棒性?，F(xiàn)代控制中，由英國(guó)劍橋大學(xué)的 Duncan McFarlane 和Keith Glover提出的 H ∞ 環(huán)函數(shù)整形是一種魯棒控制。魯棒控制的目的是要在存在小的模型誤差的情形下達(dá)到魯棒性的性能以及穩(wěn)定性。

統(tǒng)計(jì)控制 （ 英語(yǔ) ： Stochastic control ） 是在模型有不確定性的情形下進(jìn)行控制。在典型的統(tǒng)計(jì)控制問題中，會(huì)假設(shè)在模型及控制器中存在隨機(jī)的噪聲及擾動(dòng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)需考慮這些隨機(jī)的變異。

能量整型控制 （ 英語(yǔ) ： Energy-shaping control ） 將控制器及受控系統(tǒng)視為是能量轉(zhuǎn)換的元件，其控制策略是以能量保持的方式互連，以達(dá)到所需的特性。

自組織臨界控制 （ 英語(yǔ) ： Self-organized criticality control ） 可定義為試圖用自組織系統(tǒng)耗散能量的方式來影響流程。

相關(guān)條目

延伸閱讀

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