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彈簧方程

  胡克定律能精確地描述普通彈簧在變形不太大時的力學行為。

胡克定律應用的一個常見例子是彈簧。 在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力 F {\displaystyle F} 和彈簧的長度變化量 x {\displaystyle x} 成線性關系，即：

k {\displaystyle k} ：彈簧的勁度系數(shù)( 倔強系數(shù) )，由材料性質、幾何外形決定，負號：彈簧產(chǎn)生的彈力與其伸長(壓縮)的方向相反，這種彈力稱為 回復力 ，表示它有使系統(tǒng)回復平衡的趨勢。滿足上式的彈簧稱為 線性彈簧 。

通過變形儲存在彈簧中的彈性勢能為：

該式可以理解為彈簧在壓縮過程中逐小段做負功的極限累加，數(shù)學上就是作用力對作用距離的定積分（注意勢能恒為正值）。

勢能函數(shù)在 U ? ? --> x {\displaystyle U-x} 平面內(nèi)拋物線拋物線。隨著彈簧沿 x {\displaystyle x} 方向變形（無論拉伸還是壓縮），勢能相應增加。非平衡狀態(tài)時的勢能總是高于平衡狀態(tài)（ x = 0 {\displaystyle x=0} ）時的勢能。所以彈簧力的作用總是使系統(tǒng)向勢能減少的方向運動，正如在半山上引力在引力的作用下總是要往山下（引力勢能小的地方）滾一樣。

如果將一塊質量懸掛在這樣一個彈簧的末端，然后對它施加一個軸向擾動（可以是敲打或拉開一段距離突然松手），質量和彈簧組成的系統(tǒng)將會以下列 固有角頻率 （又稱 共振角頻率 ）開始振動：

  低碳鋼的應力-應變曲線。胡克定律描述的僅為原點到屈服點之間的那一段陡峭的直線。 1. 最大強度 2.屈服強度 3. 破壞點 4. 應變硬化區(qū) 5. 頸縮區(qū)

若要對處于三維應力狀態(tài)下的材料進行描述，需要定義一個包含81個彈性常數(shù)的四階張量 c ijkl 以聯(lián)系二階應力張量σ ij 和應變張量（又稱格林張量）ε kl 。

由于應力張量、應變張量和彈性系數(shù)張量存在對稱性（應力張量的對稱性就是材料力學中的剪應力互等定理），81個彈性常數(shù)中對于最一般的材料也只有21個是獨立的。

由于應力的單位量綱（力/面積）與壓強相同，而應變是 無量綱 的，所以彈性常數(shù)張量 c ijkl 中每一個元素（分量）都具有壓強的量綱。

對于固體材料大變形力學行為的描述需要用到新胡克型固體模型（neo-Hookean solids）和Mooney-Rivlin型固體模型。

各向同性材料

胡克定律的張量形式

（在牛頓流體中的類比參見 粘性 詞條。）

各向同性 材料（ isotropic materials ，也譯作 等向性 材料）顧名思義就是（力學）性能沿空間中不同方向不發(fā)生變化的材料。顯然描述這種材料的物理方程的形式不應隨坐標系的旋轉而改變。材料內(nèi)部的應變張量也應該是對稱的。由于任何張量的跡都是一個與所選坐標系無關的量，所以可以完備地將一個對稱張量分解為一個 常張量 （即除主對角線上的分量以外均為0的張量）和一個 跡為0的對稱張量 之和。即：

其中 δ δ --> i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是一個二階單位張量（通過克羅內(nèi)克δ記號來定義）。上式右邊第一項是一個常張量，稱為應變張量的 靜水壓分量 ；右邊第二項是一個跡為0的對稱張量，稱為 剪應變分量 。

對于各向同性材料，胡克定律最普遍的形式是將應力張量寫成上述兩個應變張量分量的線性組合：

式中 K 稱為體積模量， G 是材料的剪切模量。

利用彈性力學理論中的彈性常數(shù)和實際工程應用中使用的彈性模量之間的關系，以上的關系還可寫成其他形式，譬如下面這組方程用應力張量來表示了應變張量：

{ ε ε --> 11 = 1 Y ( σ σ --> 11 ? ? --> ν ν --> ( σ σ --> 22 + σ σ --> 33 ) ) ε ε --> 22 = 1 Y ( σ σ --> 22 ? ? --> ν ν --> ( σ σ --> 11 + σ σ --> 33 ) ) ε ε --> 33 = 1 Y ( σ σ --> 33 ? ? --> ν ν --> ( σ σ --> 11 + σ σ --> 22 ) ) ε ε --> 12 = σ σ --> 12 2 G ε ε --> 13 = σ σ --> 13 2 G ε ε --> 23 = σ σ --> 23 2 G {\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon _{11}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)\\\varepsilon _{22}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)\\\varepsilon _{33}={\cfrac {1}{Y}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)\\\varepsilon _{12}={\cfrac {\sigma _{12}}{2G}}\\\varepsilon _{13}={\cfrac {\sigma _{13}}{2G}}\\\varepsilon _{23}={\cfrac {\sigma _{23}}{2G}}\end{cases}}}

式中 Y 稱為楊氏模量， ν ν --> {\displaystyle \nu } 為泊松比。

正交各向異性材料

正交各向異性材料是非常常見的一種材料模型，這種材料有三個互相正交的材料對稱面；其三維胡克定理可以用矩陣表示為

( σ σ --> 11 σ σ --> 22 σ σ --> 33 σ σ --> 12 σ σ --> 23 σ σ --> 31 ) = ( C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ) ( ε ε --> 11 ε ε --> 22 ε ε --> 33 ε ε --> 12 ε ε --> 23 ε ε --> 31 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\end{pmatrix}}}

此式中獨立的材料常數(shù)為9個。 注意式中三個剪切應力和三個剪切應變的順序，不同教科書可能會不同的選擇。

各向同性材料也是正交各向異性材料的一種特例，即有無數(shù)個對稱平面的情況。這時獨立材料常數(shù)只有 2 {\displaystyle 2} 個，即楊氏模量和泊松比。

參見

楊氏模量

參考文獻

[1] Y. C. Fung （馮元楨）, Foundations of Solid Mechanics , Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1965

[2] A.C. Ugural, S.K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity , 4th ed

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